1. 什么是圈？它凭什么重要？
圈（cycle/loop）在我们的生活和网络中无处不在，它和链路（chain）、星（star）结构等一起作为网络的基本构成要件，在复杂网络中扮演着非常重要的角色。
一个圈，简而言之，就是一个由相同起点和终点构成的封闭路径。节点对之间的交互是简单的，但当它们构成环路时，便有了形成超越线性交互过程的结构基础。三角形是最小的圈，从二到三，在数量上只增加一，但却带来了质的变化。如果分别检索包含“二”和“三”的成语，就会发现前者更多是静态的描述性词汇，而后者更多指代包含复杂交互细节的行为或故事（图1）。
图1 包含“二”和“三”的常用成语举例
如果一个网络中没有圈结构，这个网络就会退化成树形网络，这时如果只移除网络中的一条连边或者一个节点，都会导致网络至少分裂成两个分支（图2左），甚至直接破碎成无数碎片，并导致其功能的必然崩溃（图2右）。而如果两个节点在一个圈中，即使圈上的某个节点（或连边）被移除，它们的连通性仍然不会被破坏。可见，不同于链路与星结构，圈为其上的节点带来了冗余的路径，这使得网络的连通性被大大增强，变得更加鲁棒。
图2 树形网络脆弱性示例。如果删除左图红圈中的连边或者右图中的红色节点，都会导致网络不再连通甚至完全破碎
另一个更重要的方面——就网络的功能和动力学而言，圈是反馈效应的结构基础，也是对反馈过程本身的逻辑描述。圈的存在使得节点能够从邻域捕获自己先前行为产生的影响，或者网络能够感知输出效果，从而据此调整接下来的行为。“用进废退”、“多退少补”、“有则改之，无则加勉”等成语也包含这样的反馈过程。反馈效应是网络结构和功能演化的重要机制，是网络复杂性的重要源头和形成智能的必要条件，也是协同效应、自组织涌现等复杂行为和现象的基础。更广泛地，反馈过程是人与外在环境时时刻刻交互的逻辑写照，也广泛存在于化学反应、控制系统、生态平衡和社会经济之中（图3）。因此，对圈结构的深入研究可以为优化网络连通性和抗攻击能力、快速调整网络状态以及最大化传播效果等提供新的洞见和方法。
图3 以反馈效应为基础的各种复杂系统
2. 有哪些研究进展？
近期的研究发现，以圈结构为基础设计的网络具有最优的同步能力（全齐性网络）[1]和控制鲁棒性[2]（图4上）；而人脑中两种高阶圈结构，团（clique）和洞（cavity），前者作为信息处理和记忆的单元，后者作为跨脑区信息整合和分发的功能基础，对于人脑的并行处理与高级认知活动至关重要[3]（图4下）。此外，圈结构也被用于刻画网络局部的节点聚集程度[4–7]，测量网络与树形网络之间的近似程度[7,8]，预测好友关系的出现[9]和未被观察到的蛋白质交互作用[10]等。
图4 圈结构在最优同步网络和人脑中的典型结构示例
然而相对于链结构和星结构，圈结构的相关研究仍然远远不足。首要的原因是圈的检索和计算并非易事。随着圈长度的增加，其数量成指数倍增加，计算复杂度和时间代价很高，且这个问题至今也是进行圈相关研究时所要面对的基本问题。其次，由于小世界网络与无标度网络的研究持续火热，吸引了科研群体的大量关注。在一定程度上，可以认为小世界网络与无标度网络的研究本质是对链结构与星结构特性的探索。故而收链、星于东隅，而失圈于桑榆。
3. 本研究主要内容
所谓圈比，顾名思义，即是指一个节点参与到其他节点的最短圈的程度。这里的最短圈是指包含这个节点的长度最小的圈。图5展示了圈数矩阵和圈比的计算过程。
图5 圈比的计算示例。在圈数矩阵中，对角线元素表示相应节点的最短圈数量，非对角元表示两个节点的共圈数。节点1对它自己以及节点2、3、4和5的最短圈的参与率依次为4/4，3/4，2/4，2/3和1。参与率之和即为节点1的圈比值。
助人者自助，重人者自重。大我无我，而寓以万物。
图6 平均相关性矩阵，颜色越深表示相应两种指标的相关性越高。这里的D，H，C和R分别表示degree，H-index，coreness和cycle ratio。
图7 四种指标排序结果的可视化。每个节点在四幅图中的位置相同，节点越大、颜色越接近红色，则表示对应的指标值越大，该节点也越重要。
图8 网络攻击实验结果。a）中曲线下降越快则效果越好，曲线下方的面积的归一化值如b）所示，加粗显示的值为最优结果。
图9 牵制控制实验结果。a）中曲线下降越快则效果越好，曲线下方的面积的归一化值如b）所示，加粗显示的值为最优结果。
图10 快速传播实验结果。每个矩阵表示一个采样时间，每一列表示该网络中四种指标的性能排名，排名为1则该指标具有最好的传播能力，反之最差。
除了上文提及的指标外，作者也全面比较了圈比与聚集系数（clustering coefficient）、特征向量中心性（eigenvectorcentrality）指标的性能，与以上结论并无二致。
作者也发现圈数矩阵与超网络之间的关系。如果将超边视为圈，超网络的关联矩阵乘以它的转置矩阵后，也可以得到圈数矩阵，这时对角元素表示超边数，非对角元素表示两个元素共有的超边数。因此，我们可以将圈比的概念推广到超网络上，用一个节点参与到其他节点的超边的程度之和来量化超网络中的节点重要性。
除了最短圈，其他更长的圈和更高阶的圈，如团和洞，也在网络结构和功能中扮演了重要角色，对于他们的研究也需要新的方法。谱分析和代数拓扑[16,17]等方法因其自身在高阶分析方面的优势，在未来的研究中或可发挥重要作用。
最后——但却同样重要的问题，是模型网络与实证网络的圈分布和圈的程度存在巨大差异。所以以往用模型网络或随机网络（如不同阶的零模型网络）上的动力学仿真结果作为实证网络的性能基准的研究方法，存在诸多值得探讨之处，还需要对此进一步研究。或许深入研究网络中圈是如何形成的，可以揭示出新的网络演化机制。
相关研究
Searchingfor Optimal Network Topology with Best Possible Synchronizability
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Computingcliques and cavities in networks
参考文献
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